Párhuzamos szelők tétele (racionális arány)

A tétel

Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok hosszának aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok hosszának arányával.

p:q=p1:q1

A bizonyítás lépései

  1. Felveszünk egy tetszőleges α szöget, melynek szögszárait elnevezzük a-nak és b-nek, a szög origóját O-nak.

  2. Vegyünk fel egy olyan tetszőleges egyenest (e), mely metszi a két szögszárat!

  3. Szerkesszük meg f egyenest, mely párhuzamos e egyenessel, és szintén metszi a két szögszárat!

  4. Szerkesszünk ezekre az egyenesekre is párhuzamosakat, nezevzzük el őket e1-nek és f1-nek. Az egyenesek metszéspontjait nevezzük el A-nak, B-nek, C-nek és D-nek, illetve A'-nek, B'-nek, C'-nek és D'-nek. AB szakaszt nevezzük el p-nek, A'B'-t p1-nek, CD-t q-nak és C'D'-t q1-nek

  5. A' és C' pontokból párhuzamost húzunk a egyenesre, így létrejön J (e1 egyenesen) és K pont (f1 egyenesen). Mivel A'J szakasz párhuzamos a egyenessel, és e egyenes is párhuzamos e1 egyenessel, így A'ABJ pontok egy paralelogrammát alkotnak. Hasonló a helyzet C'CDK pontokkal is, hiszen C'K párhuzamos a egyenessel, illetve f és f1 egyenesek is párhuzamosak. Így két paralelogramma figyelhető meg az ábrán, amelyeknek fő tulajdonsága nemcsak az, hogy a szemközti oldalak párhuzamosak, de egyenlő hosszúságúak is: A'J=AB és AA'=BJ; C'K=CD és CC'=DK (ennek még később lesz jelentősége).

  6. Megfigyelhetjük, hogy A'B'J és C'D'K hasonló háromszögek, mivel van két egyállású szögük.

    7. De miért egyenlő β és β’, illetve γ és γ’? β és β’ egyik szögszára b egyenesre illeszkedik; másik két szögszár (A’J és C’K szakaszok) párhuzamosak egymással. γ és γ’ esetében hasonló a helyzet: mivel e és f egyenesek párhuzamosak egymással, illetve A’J és C’K szakaszok is párhuzamosak. β szög egyébként egyenlő α-val is, mivel egyik szögszáruk megegyezik, a másik két szár pedig párhuzamos egymással (a formaságok kedvéért a két szög külön betűvel van jelölve)

  7. A szögek segítségével bebizonyítottuk, hogy a két háromszög hasonló. A hasonló háromszögeknek minden oldala egyenlő arányban aránylik egymáshoz, tehát: A'J:C'K=A'B':C'D'. Mivel a paralelogrammák segítségével be tudtuk bizonyítani, hogy A'J=AB és C'K=CD. Ezek alapján kijelenthetjük, hogy AB:CD=A'B':C'D', azaz p:q=p1:q1

A bizonyítást segítő videó:

A bemutató pptx formátumban itt tölthető le.

Vissza a főoldalra