Tétel:A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszik egymást
Tudjuk, hogy egy adott szakasz felező merőlegese azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak a szakasz két végpontjától. Meghúzzuk meg a mellékelt ABC háromszög AB illetve BC oldalainak felezőmerőlegesét.
Az AB oldal felezőmerőlegese (fc) és a BC oldal felezőmerőlegese (fa) metszi egymást egy pontban (M), hiszen AB és BC nem párhuzamosak, ezért felezőmerőlegeseik sem azok
Az fc egyenes minden pontja, így M is egyenlő távol van A és B pontoktól.
Az fa egyenes minden pontja, így M is, egyenlő távol van B és C pontoktól.
Ebből következik, hogy az M pont egyenlő távol van A, B és C csúcstól is. Tehát az M pont illeszkedik AC felezőmerőlegesére (fb).
Az oldalfelező merőlegesek M metszéspontja tehát egyenlő távol van mindhárom csúcstól, ezért ha M pont körül AM=BM=CM sugárral kört húzunk, a kör át fog menni a háromszög mindhárom csúcsán.
 |
 |
 |
Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszög belsejében van. |
Ha a háromszög derékszögű, akkor a köré írt kör középpontja az átfogó felezési pontja. (Thalész tétele) |
Ha háromszög tompaszögű, akkor a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik. |