a² - b² = (a + b) (a - b)
Szorzatalak geometriai bizonyítása

Tartalomjegyzék:

1. Kiindulási alapok


2. Bizonyítás 1/2


3. Bizonyítás 2/2


4. Bizonyítás (PPT)


5. Bizonyítás (videó)

1. Kiindulási alapok

• Ha a és b két különböző méretű hosszúságot képviselnek
  (itt a > b)


• akkor a² geometriai ábrázolása során egy olyan négyzetet kapunk, melynek minden éle a hosszúságú


• és b² geometriai ábrázolása során egy olyan négyzetet kapunk, melynek minden éle b hosszúságú


• A szaggatott vonallal bejelölt terület mutatja, hogy a két négyzet egymásra illeszthető úgy, hogy a kivonás (a² - b²) értelmes legyen


• Ez abból is adódik, hogy mindkét négyzet valamennyi szöge derékszögű (90°)

2. Bizonyítás 1/2:

• A kivonás során egy fejre állított „L” alakú geometriai formát kapunk eredményül, mely éleinek hossza az ábra szerint alakul


• Ha ezt a formát két részre bontjuk, mint ahogy azt a szaggatott vonal ábrázolja, akkor két téglalapot kapunk


• A téglalapok területeinek összege az ábra szerinti számítással kalkulálhatók:
  a (a - b) + b (a + b)


• Mivel mindkét téglalap rendelkezik egy egymással megegyező élhosszal
  (a - b), a területszámítás az elérni kívánt szorzatalak formmájában egy egyszerű átrendezéssel megoldható

3. Bizonyítás 2/2:

• Az egyik téglalapot (esetünkben a kisebbet) 90°-kal elforgatva, majd a másik téglalaphoz illesztve (közös méretű élükkel szemben), az ábra szerinti új téglalapot kapjuk eredményül


• Az új téglalap egyik élének hossza (a - b), míg a másik élének hossza (a + b)


• Az új téglalap területe tehát:
  (a - b) (a + b)


• Ez igazolja, hogy:
  a² - b² = (a - b) (a + b)

4. Bizonyítás (PPT)

• A PowerPoint prezentáció ezen a linken keresztül tölthető le

5. Bizonyítás (videó):

Főoldal